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“证明:设EF延长线交BC延长线于J(画图省略)。”
“结论1:JD与△ABC,DEF外接圆相切。”
“我们分为以下几个小部分证明。”
“(1)B,F,E,C四点共圆。作△ABC外接圆,延长AD交外接圆于M……”
“(2)△DBC和△DEF外接圆相切,设EF交AD于H,由(1)的结论……”
“(3)JD为两圆公切线。由蒙日定理……”
“结论2:X,B,E,T四点共圆……”
“结论3:X,K,E,D和B,D,T,K四点共圆……”
“结论4:JK=JD。”
“以J为反演中心,JD^2为反演幂的变换将E变为F,C变为B,A变为T……”
过程,非常之复杂。
毕竟是IMO的真题备选,正常的解题时间,是四个半小时三道题,即每道题一个半小时,也就是九十分钟。
这也是为何之前葛天行说,林北和赵清菡能在45分钟内做出,便承认他们厉害的原因所在,毕竟这真不是一般的难。
即便林北和赵清菡已把字迹压缩到了极限,都各自写了足足半个黑板。
密密麻麻的,就跟蝌蚪文一般。
外人一看,还以为掉进了蛆虫之中,不直接吓死,也是吓个半死。
不过即便写了这么多,但甭管是林北,还是赵清菡,所耗时间却是极少。
五分钟?
不不不,绝对没有五分钟。
甚至连四分钟都没得。
林北大概花了三分半钟,而赵清菡更只花了三分钟不到,可谓快破天际。
然后,就没然后了。
因为过程和答案,都已出来了。
不信的话,大家都可以试试,只要证明上边四个结论,便可得出最终答案,即直线BC,EF和O1O2必共点无疑。
其实这道题说复杂,那是相当的复杂,对奥数研究不深最好不要去做。
毕竟做了,也是浪费时间。
别说一个半小时,就算翻一倍,乃至给一天时间,做不出来就是做不出来。
但对林北和赵清菡来说,却还蛮简单的,其思路可以自然分为两部分。
“1:对D点性质的探究和对两限交点的处理。2:对D性质的探索中观察出B,F,E,C的共圆是比较关键的一步。”
在证明过程中不难发现相切的结论。
在有了相切的结论后,用反演的性质来处理多圆间题是比较常用的手段。
不过相较于更常规一点的反演题目,本题中对于X点该如何使用会造成一定的麻烦,虽然证明简单,但有意识地观察出X相关的共圆还是不太容易。
但这,自然难不倒林北和赵清菡。
只见两人动作皆一气呵成,畅而不隔,如行云流水,看得人眼花缭乱。
然后……
“挖……挖草……”
见此一幕,作为出题者的葛天行,终于再忍不住,而直接爆出了粗口。
他实在是被林北和赵清菡的表现震撼的不知用什么词来形容了,唯有挖草个不停,并双手死抓住不多的头发。
尼玛!
那可是IMO的真题啊!
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